Centro de eje instantáneo
de rotación
Son conceptos cinemáticos y
geométricos fundamentales en la mecánica del sólidos. En dos dimensiones o alternativamente en un
movimiento plano, sólo está definido en polo de velocidades o CIR, mientras que
en el movimiento tridimensional debe recurrirse a la noción ligeramente más
complicada de eje instantáneo de rotación. En
tres dimensiones el concepto se generaliza a eje instantáneo de rotación. En cada instante el eje instantáneo de rotación
(cuando está definido) es una respecto a la cual el cuerpo parece estar
haciendo un movimiento de rotación alrededor del mismo más una posible
traslación paralela al mismo.
CIR referido al movimiento
plano
El polo de velocidades se obtiene como la intersección de las normales a
las trayectorias (o a las velocidades)
de dos puntos cualesquiera de un sólido plano. Ocurre que en un movimiento
infinitesimal, la posición del polo no varía, de tal suerte que ha de tener
necesariamente velocidad nula: el polo es un punto (en el caso más general, el
único) de velocidad nula del sólido plano. Además, dicho movimiento
infinitesimal va a equivaler a un giro diferencial del sólido alrededor del
CIR, por lo que el movimiento real de un sólido plano puede interpretarse como
una secuencia de rotaciones infinitesimales en torno a las sucesivas posiciones
del polo (cabe esperar que el polo, en el movimiento del sólido, cambie de
posición).
El polo podrá ser un punto
impropio(en el infinito) cuando en el sólido haya dos puntos de
velocidades paralelas; en caso contrario, será un punto de sólido móvil, aunque
esté fuera de los límites físicos de dicho sólido (el sólido móvil define un
plano, el plano móvil, al que pertenece él, su CIR).
En su movimiento, el CIR describe dos trayectorias: la base (curva polar fija) y la ruleta (curva polar móvil); siendo la primera el lugar geométrico de los puntos del plano fijo que en
algún instante han coincidido con el CIR del plano móvil, y la segunda el lugar
geométrico de los puntos del plano móvil que en algún instante han sido CIR. EL
movimiento de un sólido móvil plano queda totalmente definido mediante el
movimiento de rodadura de la ruleta sobre la base, tal y como
lo demostró Cauchy en 1827.De ahí la importancia del CIR.
Se cumple que la velocidad (módulo) de un punto del sólido móvil plano
es:
Donde w es
la velocidad
angular del sólido
plano (la misma para todos sus puntos), y r la distancia euclídea del punto en
cuestión al CIR en cada instante. La dirección de la velocidad será la de la normal a la recta que une el punto y el CIR,
y su sentido lo indicará el de ω (conocido).
CIR relativo
El centro instantáneo de rotación relativo
o polo común entre dos sólidos rígidos, referido
al movimiento plano de ambos sólidos, se define como el
punto de los dos sólidos o de su prolongación en el que la velocidad
instantánea es igual para los dos sólidos. Es decir, es el punto en el que no
existe velocidad relativa entre ambos sólidos. El centro
instantáneo de rotación de
un sólido rígido es un caso particular de centro instantáneo de rotación
relativo en el que uno de los dos sólidos es el eslabón fijo (suelo).
Teorema de los tres centros
o teorema de kennedy
Es
útil para encontrar aquellos centros
instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios).
Su enunciado es el siguiente:
"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de
movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los
centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de
estar alineados"
Se
puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente
figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el
centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede
estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no
tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2),
que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos
velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los
centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón
fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.
La posición de Q
dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su
módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que w2 ha de ser mayor que w3.
Análisis y calculo de velocidad
Cuando se conocen los centros
instantáneos de rotación de un mecanismo resulta inmediato determinar la
velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad de calcular primero las
velocidades de otros puntos. Con el método de los CIR, no es necesario calcular
la velocidad de un punto que una físicamente dos barras, sino que calculando la
velocidad del CIR relativo de dos eslabones podemos considerar que conocemos la
velocidad de un punto que pertenece indistintamente a cualquiera de los dos
eslabones. Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera
simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si
la obtenemos en base a uno u otro eslabón.
Para calcular las velocidades
por CIR seguiremos los pasos siguientes:
1. Identificar los
eslabones a los que pertenecen:
a) El punto de velocidad
conocida.
b) El punto de velocidad
desconocida.
c) El eslabón de
referencia o barra fija.
2. Se hallan los tres CIR
relativos correspondientes a las barras, que estarán en línea recta según nos
indica el Teorema de Kennedy.
3. Se calcula la
velocidad del CIR relativo de los dos eslabones no fijos, considerándolo como
un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida.
4. Se considera la
velocidad hallada como la de un punto del eslabón cuya velocidad queremos
hallar. Conociendo la velocidad de un punto del eslabón (CIR) y su centro de
giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo.
• Aplicación de los CIR a
un mecanismo de cuatro barras.
• Aplicación de los CIR a
un mecanismo de biela - manivela.
calculo de velocidad
El campo de
velocidades de un sólido rígido tiene la forma
Un caso particular
importante se da cuando existe al menos un punto tal que su velocidad es nula.
Tomando dicho punto como origen de coordenadas, tenemos
de forma que la
velocidad instantánea de cada punto se reduce a
Esta forma del campo
de velocidades posee una serie de propiedades que lo identifican como
movimiento de rotación:
·
Existe una línea recta (eje de rotación) cuyos puntos poseen
velocidad nula
·
La velocidad de cualquier otro punto es perpendicular al eje de
rotación.
·
Todos los puntos a la misma distancia del eje poseen la misma celeridad.
·
La celeridad de cada punto es proporcional a su distancia al eje.
·
El sentido de las velocidades cumple la regla de la mano derecha
respecto al vector 
.
.
Curvas polares
Una curva polar es el lugar geométrico de
todas las posiciones alcanzadas por el centro instantáneo de rotación, o polo
de velocidades, de un eslabón con respecto a otro.
La
Fig que se muestra, la curva polar correspondiente a diversas posiciones del
mecanismo de 4 barras y generada por el punto P24. Como tal punto tiene la
misma velocidad, tanto si se considera del eslabón 2 como si se hace del 4, se
desprende que tal punto no tiene velocidad. Por tal razón a esta curva polar se
denomina curva polar fija, o base.
Debe
tenerse especial cuidado en no confundir la curva polar con la trayectoria de
ningún punto cuando evoluciona el mecanismo. Piénsese que el punto P24 es
centro instantáneo solo para una posición; al moverse el cuadrilátero
articulado, otros puntos irán sucediéndose como centros instantáneos y
configurarán la curva polar.
Cuando
se realiza la inversión del mecanismo, tal como refleja la otra fig, se obtiene
otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta y que se ha generado por el
mismo punto P24. Ambas curvas, según se va moviendo el cuadrilátero, se
mantienen tangentes en todo momento. Para una posición cualquiera el punto de
tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.
